Tag Archives: c++

Một bài lập trình hay về số nguyên tố

Số nguyên tố là thứ quá đỗi quen thuộc với những ai học toán, cũng như đối với các lập trình viên. Ai học giải thuật đều đã giải qua những bài về số nguyên tố, với độ khó dàn trải từ đơn giản tới phức tạp, từ vòng lặp thử tính chia hết tới sàng số nguyên tố Eratosthene…

Hôm nay mình rảnh thì có nghĩ ra một bài như thế này, các bạn xem qua nhé!

Đề bài: Cho hai số nguyên dương x và y (các test case đưa vào luôn đảm bảo x > y). Viết chương trình kiểm tra xem x2 – y2 có phải là số nguyên tố hay không.

Thoạt nhìn qua thì bài này khá đơn giản. Tính x2 – y2, rồi kiểm tra. Nhưng khi x và y lớn, ví dụ cỡ 1018 thì cách này sẽ chạy quá thời gian.

Hãy quan sát biểu thức x2 – y2. Nếu bạn đã học 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, sẽ dễ thấy rằng x2 – y2 có thể được viết dưới dạng (x-y)(x+y). Vì x và y đều là các số nguyên dương, nên x 1 và y 1. Từ đó suy ra: (x+y) 1.

Xét biểu thức còn lại, x-y. Sẽ xảy ra hai trường hợp là (x-y) 1 và (x-y)=1. Với trường hợp đầu tiên, x2 – y2 sẽ không là số nguyên tố vì vi phạm định nghĩa (chỉ có hai ước là 1 và chính nó). Do đó với (x-y)=1, biểu thức ban đầu sẽ tương đương với chỉ x+y. Ta chỉ cần xét x+y là đủ. Sau đây là code miêu tả bài toán này.

bool primeSquare(long long a, long long b)
{
    if (a-b != 1) return false;
    long long num = a + b;
    if (num % 2 == 0) return false;
    for (long long i = 3; i*i <= num; i += 2)
    {
        if (num % i == 0) return false;
    }
    return true;
}